Znalezienie limitu całki: $ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx $

Parisina 07/31/2017. 3 answers, 492 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

Przypuśćmy, że $ f: [a, b] \ to \ mathbb {R} $ jest ciągłe. Sprawdź, czy istnieje poniższy limit

$$ \ lim_ {n \ do \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx. $$

Ponieważ $ f (x) $ i $ \ sin ^ 3 {(nx)} $ są ciągłe, więc ich produkt jest całkowalny Riemanna. Jednak $ \ lim_ {n \ do \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $ nie istnieje, więc nie jest to jednolita zbieżność i nie możemy przekroczyć limitu wewnątrz całości. Nie spełnia również warunków twierdzenia Dini. Nie wiem, jak uzasadnić ten problem, ale według tego, co powiedziałem, limit nie istnieje. Doceniam każdą pomoc.

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

Lemat Riemanna-Lebesgue'a . Zauważ, że $ \ sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $.

2 comments
Parisina 07/31/2017
Dzięki, myślę, mogę to teraz uzupełnić
Teepeemm 07/31/2017
Wydaje się, że jest bardziej zaawansowany, niż wymaga tego problem.

Sangchul Lee 07/31/2017.

Nieco innym sposobem rozwiązania tego problemu jest wykorzystanie następującej obserwacji.

Proposition. Jeśli $ f: [a, b] \ to \ mathbb {R} $ jest ciągłe, $ g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $ jest ciągłe i $ L $ -periodyczne, to

$$ \ lim_ {n \ do \ infty} \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx = \ left (\ int_ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right) \ left (\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right). $$

  1. Przyjmując to stwierdzenie, odpowiedź następuje natychmiast, ponieważ $ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $ to 2 $ \ pi $ -periodic i

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ 3 x \, dx = 0. $$

  2. Intuicja jest bardzo jasna: jeśli $ n $ jest bardzo duża, to na podinterval $ [c, c + \ frac {L} {n}] \ podzbiór [a, b] $ mamy

    $$ \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} {n}} f (x) g (nx) \, dx \ approx f (c) \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} { n}} g (nx) \, dx = f (c) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx. $$

    Więc ignorując szczegóły, moglibyśmy

    $$ \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx \ approx \ left (\ sum_ {k = 1} ^ {\ lfloor n (ba) / L \ rfloor} f \ left (a + \ frac {kL} {n} \ right) \ frac {1} {n} \ right) \ left (\ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right) $$

    i przyjmując limit jako $ n \ do \ infty $, prawa strona zbiega się do pożądanej wartości. Uzupełnianie szczegółów jest dość rutynowe.

  3. Założenie o ciągłości jest tylko technicznym ustawieniem dla prostego dowodu, a ty możesz je rozluźnić do pewnego stopnia, płacąc więcej wysiłku.


Michael Hartley 07/31/2017.

Nie można wyciągnąć $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ bg (x, n) dx $$ nie istnieje tylko dlatego, że $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infTY} g (x, n ) $$ nie ma. Na przykład $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$ nie istnieje, ale $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) dx = 0, $$, ponieważ całka wynosi zero dla wszystkich $ n $.

Obawiam się, że w tym momencie skończyła mi się użyteczność, choć myślę, że granica istnieje: powinieneś, jeśli nic więcej, znaleźć jakiś argument epsilon-delta wyrażający całkę jako sumę pęczków całek na interwałach długości $ \ frac {2 \ pi} {n} $. To może być bardzo zły sposób na rozwiązanie tego problemu.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags