Funkcje, które są zawsze mniej niż ich pochodne

Mike Brown 09/12/2017. 12 answers, 3.142 views
calculus integration differential-equations derivatives inequality

Zastanawiałem się, czy istnieją funkcje, dla których $ f '(x)> f (x) $$ dla wszystkich $ x $. Jedyne przykłady, o których mógłbym sobie wyobrazić, to $ e ^ x - c $ i po prostu $ - c $, w których $ c> 0 $. Czy ma też znaczenie w funkcji, która zawsze jest mniejsza niż jej pochodna?


Edytuj: Dziękuję bardzo za wszystkie odpowiedzi. Wydaje się, że prawie wszystkie funkcje, które mają zastosowanie są wykładnicze z natury ... Czy istnieją więcej przykładów, takich jak - 1 / x?

Znowu są jakieś aplikacje / fizyczne przejawy tych funkcji? [na przykład obiekt z prędkością, która jest zawsze większa niż jej położenie / przyspieszenie jest zawsze większa niż jego prędkość]

3 Comments
1 BallpointBen 07/28/2017
Każda ograniczona, monotonnie rosnąca funkcja w dolnej połowie płaszczyzny.
1 Robin Saunders 07/29/2017
Odpowiedź Ixion daje pełne i najbardziej ogólne rozwiązanie (chociaż niektóre rodziny rozwiązań mogą być zapisywane w bardziej ładnych formach) i powinny być akceptowane.
Hamsteriffic 07/30/2017
+1! Proszę jednak naprawić tytuł, zmieniając "jego" na "ich". Sposób, w jaki tytuł jest napisany, przez chwilę wydawało się, że rozważałeś pochodne wszystkich zamówień. A teraz jestem ciekawa tego pytania z boku, haha!

12 Answers


Ixion 07/29/2017.

Jeśli $ y '(x)> y (x) \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} $, możemy zdefiniować $ f (x) = y' (x) -y (x) $, $ x $. Załóżmy, że $ y '(x) $ jest ciągłą funkcją tak, że $ f (x) $ jest stały też. Teraz z tym elementem możemy zbudować równanie różniczkowe $$ y '(x) = y (x) + f (x) $$ i jego rozwiązania są podane przez: $$ y (x) = e ^ {x} \ left (c + \ int_ {x_0} ^ {x} e ^ {- s} f (s) ds \ right) $$

Znowu są jakieś aplikacje / fizyczne przejawy tych funkcji? [na przykład obiekt z prędkością, która jest zawsze większa niż jej położenie / przyspieszenie jest zawsze większa niż jego prędkość]

Nie wiem, czy zastosowano tę interesującą właściwość, ale jestem pewien, że nie możesz porównywać prędkości ze stanowiskiem, ponieważ nie są one jednorodnymi ilościami.


Aidan Connelly 07/29/2017.

Zakładając $ f (x)> 0 $, $ f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R} $

$ f '(x)> f (x) \ iff \ frac {d} {dx} \ ln (f (x))> 1 $

W ten sposób możesz obrócić dowolną funkcję $ g $ gdzie $ g '(x)> 1 $ do tego typu funkcji, biorąc wykładnię:

$ \ frac {d} {dx} g (x)> 1 \ implikuje \ frac {d} {dx} \ ln (e ^ {g (x)})> 1 \ implikuje \ frac {d} {dx} e ^ {g (x)}> e ^ {g (x)} $

5 comments
6 Hagen von Eitzen 07/28/2017
Zakładasz $ f (x)> 0 $ na początku
2 MPW 07/28/2017
@HagenvonEitzen: Potem mógłby użyć $ \ hat {f} (x) \ equiv e ^ {f (x)} $ jako punktu wyjścia dla każdego $ f $. W ten sposób zawsze ma się $ \ hat {f} (x)> 0 $.
Robin Saunders 07/29/2017
Odpowiedź Ixion daje pełną uogólnienie poprzez umożliwienie $ \ frac {df} {dx} - f (x) $ dowolnej funkcji, która jest wszędzie pozytywna.
Adayah 07/29/2017
@RobinSaunders Nie, zakłada ciągłość $ f '(x) $.
Robin Saunders 07/29/2017
Jestem pewien, że warunek nie jest właściwie potrzebny.

Peter 07/28/2017.

Prostym przykładem jest $ f (x) = - x ^ 2-3 $


dromastyx 07/28/2017.

Bardziej interesującym problemem jest znalezienie funkcji $ f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $, której obraz jest $ \ mathbb {R} $ i spełnia $ f '(x)> f (x) $ dla wszystkich $ x \ in \ mathbb {R} $. Jedną z tych funkcji jest

$$ \ sinh (x), $$

bo

$$ \ frac {d} {dx} \ sinh (x) = \ cosh (x)> \ sinh (x) $$ dla wszystkich $ x \ in \ mathbb {R} $.


M. Winter 07/28/2017.

Weźmy $ f (x) = e ^ {\ alpha x} $. Wtedy dla $ \ alpha> 1 $ mamy $ f '(x)> f (x) $ i dla $ \ alpha <1 $ mamy $ f' (x) <f (x) $.


steven gregory 07/28/2017.

A jeśli spojrzeć na to jako równanie różniczkowe. Mówić

$ y '= y + 1 $

który ma rozwiązanie $ y = Ce ^ x -1 $

Lub $ y '= y + x ^ 2 + 1 $

który ma rozwiązanie $ y = Ce ^ x - (x ^ 2 + 2x + 3) $

Lub $ y '= y + 2 \ sin x + 3 $

który ma rozwiązanie $ y = Ce ^ x - \ sin x - \ cos x -3 $

3 comments
Robin Saunders 07/29/2017
Odpowiedź Ixion generalizuje to do $ y '(x) = y (x) + f (x) $ dla dowolnego $ f (x)> 0 $.
steven gregory 07/29/2017
@RobinSaunders - czy należy usunąć moją odpowiedź?
Robin Saunders 07/30/2017
Nie wiem zbyt wiele o etykiecie Exchange Stack Exchange, ale przypuszczam, że od czasu pierwszego wysłania odpowiedzi i zawierającego konkretne przykłady nie w drugiej odpowiedzi, powinno być dobrze pozostawić to.

Eric Towers 07/30/2017.

very prostym przykładem jest $ f (x) = -1 <0 = f '(x) $. Odpowiednie do Twojej edycji: wcale nie jest to wykładnicze.

Inne przykłady, które nie są natychmiastowe wykładnicze:

  • $ \ frac {- \ pi} {2} + \ arctan x $ jest wszędzie ujemny i wszędzie ściśle monotonnie wzrastający, więc wszędzie jest mniej niż jego pochodna.
  • $ -1 + \ mathrm {erf} (x) $ jest również wszędzie ujemny i wszędzie ściśle monotonnie wzrastający. (Są bardzo podobne, ponieważ są przesunięte kopie CDF rozkładu (i / lub znormalizowanego) Cauchy'ego i Gaussa).
  • $ \ frac {1} {2} \ left (x - \ sqrt {x ^ 2 + 4} \ right) $ jest dolną gałęzią hiperboli mającą $ x $ -axis i linią $ y = x $ as asymptoty. Jest wszędzie ujemne i wszędzie ściśle monotonne.

Thiago Nascimento 07/28/2017.

Zobacz, $ - \ frac {1} {x}, \ frac {1} {x ^ {2}} \ in \ [0, \ infty] $

1 comments
7 GEdgar 07/28/2017
Ogólniej rzecz biorąc, każda negatywna funkcja z dodatnią pochodną ...

Joshua Kidd 07/28/2017.

Innym prostym przykładem byłoby $ f (x) = -e ^ {- x} $, $ f '(x) = e ^ {- x} $


Adayah 07/29/2017.

Nierówność $$ f '(x)> f (x) $$ jest równa $$ \ left [f (x) e ^ {- x} \ right]'> 0. $$

Więc ogólnym rozwiązaniem jest przyjęcie dowolnej różniczkowej funkcji $ g (x) $ z $ g '(x)> 0 $ i wstaw $ f (x) = g (x) e ^ x $.

Zauważmy, że nic nie zakłada się na temat $ f $, z wyjątkiem różnic, co jest konieczne, aby zadać pytanie w pierwszej kolejności.


HelloGoodbye 07/30/2017.

Dla dowolnej różniczkowej funkcji $ f $, dla której zarówno $ f (x) $, jak i $ f '(x) $ ograniczone są do skończonych zakresów, $ f' (x) - f (x) $ jest ograniczony do ograniczonego zakresu, więc $ c $, dla którego $ f '(x) - f (x)> -c \ \ forall \ x $. Zatem można utworzyć funkcję $ g (x) = f (x) - c $, dla której $ g '(x) - g (x) - c> -c \ \ forall \ x $ lub $ g' (x )> g (x) \ \ forall \ x $.

Na przykład ma to wiele różnych funkcji okresowych.

5 comments
1 Adayah 07/29/2017
Ostatnie stwierdzenie jest błędne, ponieważ nie każda zmienna funkcja okresowa ogranicza pochodną.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Masz rację. Rozważyłem okresowe funkcje, które różniły się w każdym punkcie $ \ mathbb {R} $, ale zdaję sobie sprawę, że funkcja tylko musi być różniczkowa we wszystkich punktach w jej domenie, aby można było uznać za różnicujące. Zaktualizowałam swoją odpowiedź.
Adayah 07/30/2017
Znaczy się, że funkcja $ f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $ może być okresowa i różniczkowa w każdym punkcie $ a \ in \ mathbb {R} $ i nadal ma nieograniczoną pochodną.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Czy masz jakiś przykład takiej funkcji?
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Mam na myśli, jeśli funkcja $ f $ jest różniczkowa wszędzie, jej pochodna $ f '$ musi istnieć wszędzie, a $ f' $ musi być ciągła (ponieważ jeśli zawiera ona przerwanie, $ f '$ nie może istnieć w tym punkcie ). To sprawia, że ​​niemożliwe jest, aby $ f '$ był bezgraniczny, prawda?

Henk Koppelaar 08/02/2017.

Mike odpowiada na dodatkowe pytanie "Czy istnieją fizyczne przykłady tego?" jest włączony przez dromastyx.

Jego przykład pokazuje funkcje hiperboliczne, które dokładnie opisują fizyczne zjawisko "solitonów".

Solitony są falami samotnymi, takimi jak rozbłyski słońca, Tsunamis itp. Przykład znalezienia takich fal ukrytych w znanych równaniach jest:

http://rsos.royalsocietypublishing.org/content/2/7/140406.review-history

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags