Czy większość matematyków zna większość tematów z matematyki?

Sid Caroline 08/21/2017. 8 answers, 12.112 views
soft-question

Ile tematów poza jego specjalizacją jest znanych przeciętnemu matematykowi?

Na przykład, czy przeciętny teoretyk grup wie wystarczająco dużo równań różniczkowych cząstkowych, aby zdać test na kursie PDE na poziomie absolwenta?

Ponadto, jakie są tematy "obowiązkowe" dla każdego początkującego matematyka? Czemu?

Jako absolwent powinienem bardziej skupić się na zakresie (wybór szerokiego zakresu klas, które są względnie niezwiązane z parami, np. Teoria grup i PDE) lub głębi (np. Teoria miary i analiza funkcjonalna)?

5 Comments
5 Mattos 07/27/2017
Tak, jak wiesz, teoria grup is używana w badaniach równań różniczkowych cząstkowych, głównie w celu wykorzystania dowolnych symetrii, jakie może mieć PDE.
53 Cauchy 07/27/2017
Nie, przeciętny teoretyk grupy otrzyma grubą $ 0 $ na kursie PDE na poziomie magisterskim (w pewnym momencie might studiować PDE, ale zdecydowanie zdecydowanie zapomniał o wszystkim).
23 Cauchy 07/27/2017
Ogólnie rzecz biorąc jednak większość matematyków ma trochę kontaktu z szeroką gamą tematów, więc jeśli potrzebują jakiegoś narzędzia z innej gałęzi, mogą (względnie) szybko odświeżyć materiał i przeczytać odpowiednią literaturę.
1 owjburnham 07/27/2017
Podejrzewam, że może to być specyficzne dla danego kraju i dlatego warto je tagować? Ja (w Wielkiej Brytanii) nigdy nie musiałem przechodzić ani jednego egzaminu jako absolwent (dzięki Bogu).
6 Robin Saunders 07/29/2017
@Myles, coraz częściej słyszałem, że powiedział o Poincaré.

8 Answers


P. Siehr 07/27/2017.

Twoje pytanie jest raczej filozoficzne niż matematyczne.

Mój kolega powiedział mi kiedyś o metaforze / ilustracji, kiedy byłem studentem studiów licencjackich i zrobił doktorat. A teraz, gdy minęło już kilka lat, mogę się odnieść.

Trudno to napisać. Pomyśl o narysowaniu wielkiego koła w powietrzu, powiększeniu i ponownym rysowaniu wielkiego koła.

To wszystko wiedza:

[--------------------------------------------] 

Cała wiedza zawiera dużo, a matematyka to tylko niewielka część - oznaczona krzyżykiem:

[---------------------------------------x----]
                                        |
Zooming in:
[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx] 

Badania matematyczne podzielone są na wiele tematów. Algebra, teoria liczb i wiele innych, ale także matematyka numeryczna. Oto ta niewielka część tutaj:

[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxoxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx]
                    |                    
Zooming in:
[oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo] 

Matematyka numeryczna jest podzielona na kilka tematów, takich jak numeracja ODE, optymalizacja itp. A jednym z nich jest FEM-Theory dla PDE.

[oooooooooooooooooooρoooooooooooooooooooooooo]
                    | 

I to jest ta część wiedzy, w której dobrze się czuję mówiąc "Wiem trochę więcej niż większość ludzi na świecie".
Teraz, po kilku latach, poszerzyłbym tę ilustrację o jeszcze jeden krok: moja wiedza w tej części raczej wygląda

[   ρ    ρρ  ρ         ρ   ρ          ρ     ρ] 

Wciąż o tym wiem "trochę", większość tego nie wiem, a większość tego, czego się dowiedziałem, już jest zapomniana.

(Właściwie FEM-Theory to wciąż ogromny temat, który zawiera np. Różne rodzaje PDE [eliptyczne, paraboliczne, hiperboliczne, inne], więc możesz zrobić "powiększanie" kilka razy więcej.)


Kolejna mała mądrość: Ktoś, kto ukończył szkołę, myśli, że wie wszystko. Kiedy uzyskał tytuł magistra, wie, że nic nie wie. Po doktoracie wie, że wszyscy wokół niego nic nie wiedzą.


Pytanie o skupienie: IMO przez pierwsze kilka lat bada tematy matematyczne, aby dowiedzieć się, co lubisz. Potem wejdź głębiej - jeśli znajdziesz to, co lubisz.

Czy są tematy "trzeba wiedzieć"? Istnieją podstawy, których uczysz się w kilku pierwszych terminach. Bez nich trudno jest "mówić" i "robić" matematykę. Poznasz narzędzia, których potrzebujesz, aby głębiej sięgnąć. Potem możesz cieszyć się matematyką :)
Jeśli twoje badania koncentrują się na przykład na liczbach PDE (tak jak moje), ale lubisz też czystą matematykę - idź i zrób wykład. Czy to ci pomoże? Może, może nie. Ale na pewno dobrze się bawiłeś zdobywając wiedzę i to się liczy.

Nie myśl zbyt wiele o tym, jakie wykłady należy wziąć udział. Wszystko się dobrze ułoży. Myślę, że większość matematyków zgodzi się z tym stwierdzeniem.

4 comments
46 Eff 07/27/2017
Jest to podobne do The Illustrated Guide to a Ph.D. .
10 Mars 07/30/2017
Dla przypomnienia jestem zawodowym filozofem (doktorat z filozofii, praca jako profesor, tak dalej). Soo ... w mojej profesjonalnej opinii to pytanie nie jest filozoficzne. To jest empiryczne. OP prosi o empiryczne uogólnienia dotyczące matematyków. Sugestia P. Siehra głosi, że pytanie jest sformułowane nieprecyzyjnie lub jest oparte na błędnych założeniach. To nie sprawia, że ​​pytanie lub jego możliwe odpowiedzi są filozoficzne. (fwiw Nie zgadzam się z P. Siehrem, że na zadane pytanie nie można udzielić odpowiedzi, a moje uwagi nie mają na celu udzielenia poparcia dla komentarzy.)
3 Joonas Ilmavirta 08/01/2017
@Mars Należy zauważyć, że "filozoficzne" w kontekście matematycznym w ogóle nie odnosi się do dziedziny filozofii, ale do niemal każdej matematycznie istotnej lub inspirowanej myśli, poza rygorystyczną i formalną matematyką. (Mam nadzieję, że matematycy używający tego słowa rozpoznają to!) Zgadzam się, że pytanie nie jest filozoficzne w rzeczywistym znaczeniu tego słowa, ale myślę, że jest filozoficzne w tym sensie, jakiego używa wielu matematyków.
Mars 08/09/2017
To interesujące @JoonasIlmavirta. Dzięki.

Georges Elencwajg 07/27/2017.

Odpowiedź na twoje pytanie jest prosta:
Nie, przeciętny matematyk specjalizujący się na przykład w geometrii algebraicznej nie mógłby przejść without preparation egzaminu na poziomie magisterskim na temat równań różniczkowych cząstkowych.
Zaczekaj, to jest gorsze: nie mógł nawet zdać egzaminu na poziomie licencjackim na temat równań różniczkowych cząstkowych.
Zaczekaj, to jeszcze gorsze: nie mógł zdać egzaminu in algebraic geometry na inny temat specjalistyczny od swojego. Na przykład elementarny egzamin dotyczący klasyfikacji osobliwości, jeśli jest on wyspecjalizowany w programach Hilberta.
I odwrotnie, byłbym bardzo zaskoczony, gdyby notoryczny analityk, który niedawno zdobył medal Fieldsa, mógł rozwiązać ćwiczenia w, powiedzmy, rozdziale 5 Algebraicznych krzywych Fultona, standardowym wprowadzeniu do licencjackich geometrii algebraicznych.

Some remarks
1) To, co napisałem, łatwo potwierdzić prywatnie, ale niemożliwe do udowodnienia publicznie:
Nie bardzo mogę napisać, że w niedawnej rozmowie XXX, szanowany probabilista, obficie udowodnił, że nie ma pojęcia, jaka jest podstawowa grupa tego kręgu.

2) Jeśli autor YYY napisał artykuł o równaniach różniczkowych cząstkowych za pomocą technik z grupy akceptowalnej, nie oznacza to, że inni specjaliści w tej dziedzinie znają jakąkolwiek teorię grup.
Nie dowodzi to nawet, że YYY wiedział wiele na temat teorii grup: być może zdał sobie sprawę, że teoria grup była zaangażowana w jego badania i przeprowadził wywiad z teoretykiem grupy, który powiedziałby mu o grupach podlegających akceptacji.

3) Z drugiej strony niektórzy bardzo wyjątkowi matematycy zdają się wiedzieć o prawie każdym temacie z matematyki: Atiyah, Deligne, Serre, Tao przychodzą na myśl.
Moim smutnym przypuszczeniem jest to, że ich liczba jest funkcją zmierzającą do zera w miarę upływu czasu.
I chociaż nie udało mi się zdać egzaminu z analizy, wiem, co to oznacza dla funkcji cenowej $ \ mathbb N $ ...

5 comments
11 Alfred Yerger 07/27/2017
W moim dziale są ludzie, którzy mogą przynajmniej wypowiedzieć się na temat wielu różnych subpól w ramach szerokiej dyscypliny. Przyszło mi na myśl kilku geometrów, którzy mają coś inteligentnego do powiedzenia na temat wielu obszarów geometrii. Może nie można wszystkiego wiedzieć. Ale miejmy nadzieję, że nadal można wiele wiedzieć o wielu rzeczach. Myślę, że to chyba wystarczająco dobrze, ponieważ teraz jest o wiele więcej rzeczy do odkrycia!
1 Santropedro 07/28/2017
Georges, kiedy mówisz: "Z drugiej strony byłbym bardzo zaskoczony, gdyby notoryczny analityk, który niedawno zdobył medal Fieldsa, mógł rozwiązać ćwiczenia w, powiedzmy, rozdziale 5 Algebraicznych krzywych Fultona, standardowym wprowadzeniu do licencjackich geometrii algebraicznych." ile czasu pozwala im myśleć o każdym ćwiczeniu? Jeśli damy im wystarczająco dużo czasu na przeczytanie książki i ćwiczenia, na pewno mi to rozwiążą. Czy nie wolno im czytać książki i trzeba je rozwiązywać na miejscu, w jakim czasie?
8 Georges Elencwajg 07/28/2017
Drogi @Santropedro, oczywiście, jeśli ten genialny analityk dostał tydzień lub dwa, mógł przeczytać książkę, a następnie rozwiązać swoje ćwiczenia. Chodziło o to, że prawdopodobnie nie byłby w stanie rozwiązać ich z tym, co wie teraz.
2 Michael Kay 07/28/2017
Kilka lat temu pomyślałem, że zabawnie byłoby spróbować zająć się podręcznikiem matematycznym GCSE (dla 16-latków), który moja córka przyniosła do domu. W tym wieku przepłynęłbym bez problemu. Stwierdziłem, że nie jestem w stanie odpowiedzieć na jedno pytanie, mimo że moja praca w inżynierii oprogramowania wymaga regularnej ekspozycji na wiele matematyki.
2 Georges Elencwajg 07/30/2017
@Mars: tak, właśnie o to chodzi. PO pytał o przedmioty, które znał matematyk. Pytanie, czy could zapoznać z takim tematem i jak długo to potrwa, jest zupełnie inne i całkiem skorelowane z pojęciem bycia "genialnym".

MCS 07/29/2017.

Moje dwa centy: jeśli nie masz magicznego mózgu, albo jesteś epokowym geniuszem, prawdopodobnie odkryjesz, że w danym momencie możesz mieć tylko tyle matematyki w swoim umyśle. Tak więc, ze względów praktycznych - zarówno w odniesieniu do pisania rozprawy, jak i w odniesieniu do kariery zawodowej dla siebie - prawdopodobnie powinniście pozostać przy jednym lub dwóch blisko spokrewnionych obszarach, abyście mieli wystarczającą wiedzę, aby być użytecznym dla instytucję badawczą lub cokolwiek innego chcesz zrobić ze swoją przyszłością.

Biorąc to pod uwagę, odkryłem, że tłuszcz z łokcia i umiejętności matematyczne często są żałośnie uncorrelated ze sobą. Zamiast tego umiejętność często zależy bardziej od tego, ile matematyki seen . W tym celu chciałbym powiedzieć, że chociaż zdecydowanie powinieneś wybrać jeden lub dwa obszary, aby nazwać swoje własne, powinieneś dążyć do zachowania otwartego umysłu i utrzymywać aktywne zainteresowanie tak szeroką gamą dyscyplin matematycznych, jak to możliwe.

Często uważam, że lektura (nawet jeśli tylko mimochodem) o formach matematycznych niezwiązanych z moimi obszarami badań dostarcza mnóstwa nowych pomysłów i spostrzeżeń. Im więcej wzorów i zjawisk znasz, tym większa szansa, że ​​zauważysz coś interesującego, przeszkadzającego ci w pracy, a to może dać ci trochę intuicji, której byś nie miał. Pomoże Ci to przynajmniej dowiedzieć się, jakie tematy lub źródła (lub współpracownicy ...) sprawdzą się, gdy natkniesz się na coś spoza obszaru największej wiedzy specjalistycznej.

Edycja: jeszcze jedno. Linear algebra. Parafrazując Benedykta Grossa, nie ma czegoś takiego, jak znać zbyt wiele algebry liniowej. To freakin " everywhere .


paul garrett 07/27/2017.

W pytaniu jest oczywiście niesamowita dwuznaczność. Ale przy każdej interpretacji odpowiedź brzmiałaby ogólnie: "nie, większość praktyków jakiejś części X nie pamięta wszystkich X ... bo oni nie need ".

Tak więc, choćby dlatego, że wspomnienia najbardziej nawet bardzo inteligentnych ludzi z czasem znikną, w myślach matematyków, którzy pracują nad jednym szczególnym rodzajem rzeczy przez kilka lat, pozostaną tylko nieznaczne pozostałości standardowych rzeczy. Oprócz rachunku naukowego, nie ma zbyt wiele do zapamiętania. Tak, z punktu widzenia stypendium jest to potencjalnie przygnębiające, ale w rzeczywistości w prawie wszystkich zawodach matematycznych brakuje skromnej motywacji / nagrody za prawdziwe stypendium. W jakiś sposób nie pasuje do formuły zwiększających wynagrodzenie, kadencji ani do wielu innych rzeczy. (Nie chodzi o to, że ja osobiście dbam o to, czy próbuję zrozumieć rzeczy "za wynagrodzeniem", czy nie ...)

To prawda, że ​​większość programów matematycznych w USA w matematyce stara się uzyskać pewną minimalną kompetencję / uznanie dla dużej części podstawowej matematyki, ale po "zaliczaniu kwalifikacji" wydaje się, że ogromna większość ludzi nie jest zainteresowana dalszą realizacją stypendium, co do zasady, lub za ewentualne bezpośrednie korzyści.

Ponadto, nie zgadzam się z (moim zdaniem) uproszczonym obrazem, że "specjalizacja" jest jak "powiększanie za pomocą mikroskopu" i tak dalej. Oczywiście, jest to możliwy do obrony światopogląd i tematyczny światopogląd, i, pewnie, dzięki swoim działaniom można sprawić, że będzie to accurate opis ... ale myślę, że to nie jest dokładne z rzeczywistości. W szczególności nie uważam, że rzeczywiste idee są tak "zlokalizowane", jak "fizyczny mikroskop powiększeniowy". Oznacza to, że myśl, że "matematyka" może być w jakikolwiek rozsądny sposób przedstawiona jako rzecz fizyczna, pociągająca za sobą całą lokalność, która to implikuje, jest szalenie nieprawdziwa. Znowu, tak, możemy make by była dokładna, jeśli nic innego przez niewiedzę lub ignorancję - fiat. Ale...


Dennis Jaheruddin 07/29/2017.

Pytanie, ile matematyki zna przeciętny matematyk, zależy w dużej mierze od dwóch definicji:

  1. Temat
  2. Wiedzieć

Oczywiście zależy to również od innych definicji (jak matematyk), ale w mniejszym stopniu.

Podejście ilościowe w celu udzielenia odpowiedzi na to pytanie

Zdefiniujmy poziomy tematów w następujący sposób, luźno oparty na wikipedii :

  1. Matematyka (1 temat na tym poziomie)
  2. Czysta matematyka / Matematyka stosowana (2 tematy na tym poziomie)
  3. Algebra, ..., Badania operacyjne (13 tematów na tym poziomie)
  4. Algebra abstrakcyjna, algebra Boole'a, ... (tematy na tym poziomie)

Teraz, bazując na osobistym doświadczeniu i obrazie przeciętnego matematyka, mogę odpowiedzieć na pytanie, ile taki matematyk mógłby o tym wiedzieć na każdym poziomie:

  1. Może przejść kurs dla absolwentów na ten temat
  2. Może przejść kurs dla absolwentów tych tematów
  3. Może zdać kurs ukończenia niektórych z tych tematów, może zdać kurs wprowadzający na temat większości z tych tematów
  4. Może przejść kurs dla absolwentów na kilka z tych tematów (być może 5 ~ 15%)

Zwróć uwagę, że jeśli przekroczysz poziom 4, stajesz się tak specyficzny, że możesz nie znaleźć kompletnych kursów dla absolwentów na taki temat. Stąd mój wniosek:

Opierając się na osobistych doświadczeniach, oczekuję, że przeciętny matematyk będzie miał przyzwoitą wiedzę na temat od 5% do 15% tematów na poziomie studiów magisterskich


Linas 07/29/2017.

Spędziłem kilka lat nad projektem, aby przeczytać pierwsze 1-2 rozdziały przynajmniej jednej książki matematycznej na każdej półce biblioteki uniwersyteckiej. Była to próba uzyskania obiektywnego przeglądu matematyki. Było to dla mnie dobre, ale był to luksus: wymuszony marsz przez program doktorancki i na akademię oferuje niewiele czasu na takie zachowanie. A jednak jest to ważne: wszyscy najlepsi, najsłynniejsi matematycy wyraźnie posługują się narzędziami interdyscyplinarnymi w swojej pracy. Dla mnie osobiście był to pewien poziom zaawansowania: nagle wszystko jest łatwiejsze.

Specjalizowanie się w jednym polu to jak podnoszenie ciężarów za pomocą prawej ręki, ignorowanie rdzenia, pleców i nóg: pozostawia cię zaskakująco słabo i niezdolnie. Kiedy trzeba opanować wiele różnych stylów abstrakcji, w ogólnym rozrachunku można uzyskać lepszą jakość, nawet w wybranej specjalności. To była dla mnie niespodzianka.

Aby uzyskać bardziej ilościowe pytanie: czy mogę zdać test na kursie XYZ na poziomie magisterskim? na kurs roczny I stopnia, prawdopodobnie, prawdopodobnie. Sort-of. Egzaminy mają tendencję do stawiania pytań za pomocą frazowania i notacji, które są ściśle powiązane z podręcznikiem klasy, a zapis ten może się znacznie różnić w zależności od podręcznika. Więc do tego potrzebny byłby prep. Chodzi o to, że takie przygotowanie staje się łatwiejsze.

1 comments
Lehs 07/29/2017
W bibliotece uniwersyteckiej powinno być dużo książek matematycznych. Nigdy nie byłbym w stanie nauczyć się wszystkich tytułów i na pewno nie wszystkich definicji we wszystkich tych książkach. I nie można pamiętać tak dużego kontekstu. Ale profesjonalny matematyk prawdopodobnie będzie w stanie zrozumieć kontekst każdej z książek, jeśli będzie musiał.

R K Sinha 08/07/2017.

Na poziomie magisterskim w matematyce istnieje bardzo mała liczba podręczników napisanych w celu jak najszybszego nauczenia "prawdziwego podmiotu". "Smooth Manifolds by Sinha" to jedna z takich książek. Jeśli wiele książek tego typu stanie się dostępnych, to stypendium w matematyce nie byłoby śmiechem.


John Bentin 07/27/2017.

Zdecydowanie nie. Na przykład wielki matematyk Grothendieck nie był dostatecznie zaznajomiony z arytmetyką, aby rozpoznać liczbę całkowitą 57 USD jako osobę nieparzystą. Wiele kont tej historii można uzyskać przez wyszukiwanie w Internecie kluczowych terminów; powiedz: poszukaj grothendieck prime 57 .

5 comments
24 José Carlos Santos 07/27/2017
To jest śmieszny przykład! Grothendieck myślał ogólnie o liczbach pierwszych. Po prostu nie mógł się przejmować tym, czy 57 $ to najlepszy wynik.
19 Georges Elencwajg 07/27/2017
Nie jest to opowieść: Grothendieck popełnił ten głupi błąd, po rozmowie, po tym, jak został poproszony o bycie bardziej konkretnym przez członka widowni. Oczywiście nic to nie zmienia w tym, że Grothendieck był jednym z najgłębszych arytmetów XX wieku. I rzeczywiście 57 looks trochę prima z jakiegoś powodu psychologicznego :-). I odwrotnie, wielu matematyków myśli, że wyciągam nogę, kiedy mówię im, że 4999 $ is najlepsze!
1 Dair 07/27/2017
Wierzę, że Terrance Tao powiedział także, że 27 było najlepszym w raporcie Colberta, czy coś w tym stylu: (Nie, że nie jest dobrze zaznajomiony z liczbami głównymi, tylko zabawną anegdotą). Jednak lepszym pytaniem jest, skąd to wiem? I co ja robię w moim życiu?
1 quid 07/27/2017
"Ale Grothendieck musiał wiedzieć, że 57 nie jest pierwszą, prawda? Absolutnie nie, powiedział David Mumford z Brown University. "On nie myśli konkretnie." "Bo na pewno znał to w tym sensie, że mógł odpowiedzieć na pytanie" Czy 57 jest liczbą pierwszą? " poprawnie, a to się rozmywa.
1 John R Ramsden 08/02/2017
Jeśli odpowiadając na pierwotne pytanie, co wydaje się nieco pozbawione smaku podejściem do wskazywania nieuniknionych luk w wiedzy nawet największych matematyków, lepszym przykładem niż głupi arytmetyczny poślizg byłby, gdyby Grothendieck zapytał kolegę o pewną określoną całkę, z którą się spotkał, i był zaskoczony, gdy dowiedział się, że zwykle nazywa się to Normalnym Dystrybucją.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags